Para solicitar o TIE, primeiro você deve ir à Polícia levar os documentos e cadastrar as impressões digitais (toma de huella).
Após isso, te dão um comprovante e dizem que você deve esperar 40 dias para retirar o TIE.

Acontece que nem sempre é necessário aguardar todo esse tempo.

No comprovante (RESGUARDO DE SOLICITUD O RENOVACIÓN DE TARJETA DE EXTRANJERO), há o número de LOTE do seu TIE. Exemplo: 2023/123

Com esse número você consegue saber se seu TIE já está disponível para retirar.

Basta entrar no site lotenie.com ou no Twitter @lote_nie e verificar qual é o último lote disponível. Se o número que constar lá for MAIOR ou IGUAL o do seu lote, significa que seu TIE já está disponível.
Então basta solicitar uma cita (https://icp.administracionelectronica.gob.es/icpplus/index.html) e ir retirar.

No meu caso, o meu TIE ficou disponível para retirada em 20 dias. Metade do prazo que pedem.