Para que os pets possam viajar é necessário fazer uma documentação e requer uma preparação de no mínimo 4 meses antes do embarque previsto.
Recomendo comprar a passagem junto com a sua, porque as cias aéreas tem um número limite de pet que podem ser transportados por voo tanto na cabine como no porão.
Os passos são os seguintes:

1º Implantação do microchip no pet;
Deve seguir o padrão ISO 11784 e ISO 11785.

2º Vacina contra raiva;
Deve ser feita após a implantação do chip.

3º Fazer a sorologia antirrábica;
Após um mês de tomar a vacina contra raiva a extração do soro do sangue poderá ser feita.
Após realizar o exame, a amostra deverá ser enviada para um laboratório credenciado pela Espanha.
A lista dos laboratórios credenciados pode ser conferida nesse site: https://food.ec.europa.eu/animals/movement-pets/approved-rabies-serology-laboratories/non-eu-countries_en#brasil
Essa análise deverá ser realizada com no mínimo 90 dias antes do embarque.

4º Atestado médico;
O atestado tem que estar tanto em inglês como em espanhol e deverá ser emitido no máximo 10 dias antes do desembarque na Europa.
Normalmente as clinicas já possuem o formulário padrão para preenchimento.

5º Emissão do CVI (Certificado Veterinário Internacional);
A solicitação para o CVI para a União Europeia é feita no site do gov.br e na própria página do gov.br tem um vídeo explicativo de como fazer o uploud da documentação.
Em seguida o link: https://www.gov.br/agricultura/pt-br/assuntos/vigilancia-agropecuaria/animais-estimacao/sair-do-brasil
O prazo para o Vigiagro (Vigilância Agropecuária Internacional) analisar a documentação é de 72h.

É muito importante planejar bem cada etapa do processo por causa dos prazos citados acima.
No dia da viagem, ainda no Brasil, o agente da cia aérea irá conferir a documentação do pet (carteira de vacinação, sorologia antirrábica, atestado médico e CVI) antes do embarque. Se o pet for despachado, ele deverá ser entregue na parte de bagagens especiais.
Nesse local a caixa de transporte será passada no raio-x e o pet deverá ser retirado da caixa, por isso, recomendo lacrar a caixa apenas depois de passar por essa inspeção.
Se o pet viajar contigo, na fila do raio-x ele também deverá ser removido da caixa de transporte e deverá passar junto com o tutor pelo raio-x, enquanto a caixa de transporte passará junto com a bagagem de mão.
Chegando na Espanha, o pet que foi despachado é entregue na parte de bagagens especiais. É importante estar atento para não se desesperar esperando o pet na esteira das malas.
Uma vez com o pet em mãos, antes de sair do aeroporto, você deverá passar pela Vigilância Sanitária. O agente irá analisar a documentação do pet e irá fazer a leitura do microchip dos pet.